作业帮函数f(x)在[a,b],在(a,b)内可导,则必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:01:08
![函数f(x)在[a,b],在(a,b)内可导,则必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=](/uploads/image/z/11428566-6-6.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%5Ba%2Cb%5D%2C%E5%9C%A8%28a%2Cb%29%E5%86%85%E5%8F%AF%E5%AF%BC%2C%E5%88%99%E5%BF%85%E5%AD%98%E5%9C%A8%CE%BE%E2%88%88%28a%2Cb%29%E4%BD%BF%E5%BE%97f%27%28%CE%BE%29%3D)
函数f(x)在[a,b],在(a,b)内可导,则必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=
函数f(x)在[a,b],在(a,b)内可导,则必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=
函数f(x)在[a,b],在(a,b)内可导,则必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=
等于0
设函数f(x）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）,在开区间（a,b）上可导,
且f(a)=f(b）,那么至少存在一点ξ∈（a、b）,使得 f'（ξ）=0.称为罗尔定理.
罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的.
罗尔定理的三个已知条件的意义：
⒈f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；
⒉f(x）在（a,b）内[1]可导表明曲线y=f(x）在每一点处有切线存在；
⒊f(a)=f(b）表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴
罗尔定理的结论的直几何意义是：在（a,b）内至少能找到一点ξ,使f'（ξ）=0,表明曲线上至少有一点的切线斜率为0,从而切线平行于割线AB,与x轴平行
罗尔定理的证明：
根据 f是闭区间 [a,b] 上连续函数的性质,由极值定理得在 [a,b] 上有最大值（M）和最小值（m）
⒈如果M=m,此时f(x）在[a,b]上恒为常数,结论显然成立.
⒉如果M>m,由条件f(a)=f(b)知,两个数M,m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)=f(b),不妨设M≠f(a)（如果设m≠f(a),证法完全类似）,那么必定在开区间(a,b)内有一点ξ使f(ξ)=M.
法1：因此,∀x∈[a,b],有f(x)≤ f(ξ),由费马引理（fermat引理）可知f'（ξ）=0
法2：由于f(x)在ξ处最大,故不论Δx是正或负,总有
f(ξ+Δx)- f(ξ)≤ 0,
因此,当Δx > 0 时,
{ f（ξ+Δx）- f（ξ）} / Δx ≤ 0 ,
故由极限的保号性有
f'+(ξ)=lim{ f（ξ+Δx）- f（ξ）} / Δx ≤ 0 , （1）
注：此处+为下角标. lim下还有Δx→0+（此处+为上角标）
而当Δx < 0 时,
{ f(ξ+Δx)- f(ξ)} / Δx ≥ 0 ,
故
f'-(ξ)=lim{ f(ξ+Δx)- f(ξ)} / Δx ≥ 0 . （2）
注：此处 - 为下角标. lim下还有Δx→0-（此处-为上角标）
由(1),(2)两式及f'(ξ)存在知,必有
f'(ξ)=0.[2]
由拉格拉日定理可知（可导必连续）
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
拉格朗日中值定理的几何意义。
f(x)可导，则导函数连续。（这个需要证请追问）
g(x)=f'(x)(b-a)连续
min[g(x)]<=f(b)-f(a)=∫f'(x)dx<=max[g(x)]
由中值定理得存在ξ使
g(ξ)=f(b)-f(a)