二次函数y=x平方+bx+c的图像经过A(-1,0),B(3,0)两点,且交y轴于点C设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 09:44:43

二次函数y=x平方+bx+c的图像经过A(-1,0),B(3,0)两点,且交y轴于点C设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积
二次函数y=x平方+bx+c的图像经过A(-1,0),B(3,0)两点,且交y轴于点C
设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积

二次函数y=x平方+bx+c的图像经过A(-1,0),B(3,0)两点,且交y轴于点C设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积
y＝x²＋bx＋c ∵图像经过A(-1,0),B(3,0)两点
∴1－b＋c＝0 9＋3b＋c＝0 ∴b＝﹣2 c＝﹣3 ∴y＝x²－2x－3
∵交y轴于点C ∴C(0,﹣3)
∵y＝x²－2x－3＝(x－1)²－4 抛物线的顶点为M ∴M(1,﹣4)
过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则N(1,0)
S四边形ABMC＝S△AOC＋S梯形OCMN＋S△MNB
＝1/2×1×3＋1/2×(3＋4)×1＋1/2×(3－1)×4
＝9

即函数有两个零点-1及3，即b=-(-1+3)=-2, c=-1*3=-3
y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4
x=0, y=-3 , C(0,-3)
顶点为M（1，-4）
M，C到X轴的垂足记为M＇，　C＇
ACC'面积=1/2*1*3=1.5
BMM'面积=1/2*4*(3-1)=4
MCC'M'面积=1/2*(3+4)*(3-1)=7
ABMC面积=1.5+4+7=12.5

常规一点的方法：

y=x²+bx+c经过A、B

也就是A点，B点的坐标满足这个函数表达式

代入即可： 0=1-b+c

0=9+3b+c

解得：b=-2，c=-3

∴y=x²-2x-3

顶点M=（-b/2a，c-b²/4a）

（→记住对称轴为x=-b/2a，就是顶点横坐标，纵坐标将横坐标代入函数即可）

代进去就得到M（1，-4）

函数与y轴交点，就是x=0时的函数，代入，y=-3，交点C（0，-3）

[这时可以画个草图，把这4个点大致标出来，函数图象不要画了，因为只要求面积就好了]

【图帮你画好了，看一下吧】

要求的面积就是区域a、b、c的面积和，根据坐标，容易求出

（→割补法是求多边形面积很常用的方法，好好掌握）

Sa=1×3×½=3/2

Sb=（3+4）×1×½=7/2

Sc=2×4×½=4

所以S四边形ABMC=Sa+Sb+Sc=9

【在求函数的时候，还可以直接由A、B两点得出，因为给出的A、B比较特殊，是函数与x轴交点，根据二次函数零点式，可以直接得到二次函数为y=（x+1）（x-3），打开即可】