理科论文 ：数学中的问题解决[1]

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1980年4月, 以美国数学教师全国联合会(NCTM)的名义，公布了一份名曰《行动纲领 - 80年代数学教育的议程》的文件，首次提出必须把问题解决(problem solving)作为80年代中学数学的核心。在1980年8月的第四届国际数学会议上，美国数学教师协会提出了80年代中学数学教育行动计划的八点建议，指出80年代中学数学教育改革焦点是培养学生问题解决的能力，这种力量衡量个人和国家数学水平的标志。到1988年召开的第六届国际数学教育会议上，则将问题解决列为大会的七个主要研究课题之一，在课题报告中，几次明确提出问题解决?模拟化和应用必须成为从中学到大学的所有数学课程的一部份。这样，在美国和国际数学教育会议的推动下，问题解决受到了世界各国数学界普遍重视，不仅成为国际数学教育界研究的重要课题，而且是继「新数运动」和「回到基础」之后兴起的80年代和90年代国际数学教育发展的潮流。
一、对「问题」的理解
对「问题」的理解与关于甚么是「问题解决」的分析直接相关，讨论和研究「问题解决」的一个主要困难就在于对甚么是真正的「问题」缺少明晰的一致意见。
当代美国著名数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)曾说：「问题是数学的心脏。」美籍匈牙利著名数学教育家波利亚(G.Polya)在《数学的发现》一书中曾给出问题明确含义，并从数学角度对问题作了分类。他指出，所谓「问题」就是意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。《牛顿大词典》对「问题」的解释是：指那些并非可以立即求解或较困难的问题 (question)，那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。
在1988年的第六屇国际数学教育大会上，「问题解决、模型化及应用」课题组提交的课题报告中，对「问题」给出了更为明确而富有启发意义的界定，指出一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。该课题组主席奈斯 (M.Niss) 还进一步把「数学问题解决」中的「问题」具体分为两类：一类是非常规的数学问题；另一类是数学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所接受。
我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》里的 "数学教育中的问题解决"中，对甚么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨，根据他们的思想观点，我们可对「问题」作以下几个方面的理解和认识。
* 问题是一种情境状态。这种状态会与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易于理解的、没有完全确定的解答方法或法则。换句话说，所谓有问题的状态，即这个人面临着他们不认识的东西，对于这种东西又不能仅仅应用某种典范的解法去解答，因为一个问题一旦可以使使用以前的算法轻易地解答出来，那么它就不是一个问题了。
* 问题解决中的「问题」，并不包括常规数学问题，而是指非常规数学问题和数学的应用问题。这里的常规数学问题，就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则、原理，而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题。
* 问题是相对的。问题因人因时而宜，对于一个人可能是问题，而对于另一个人只不过是习题或练习，而对于第三个人，却可能是所然无味了。另一方面，随着人们的数学知识的增长、能力的提高，原先是问题的东西，现在却可能变成常规的问题，或者说已经构不成问题了。例如，学生在学习因式分解之前，对于「求方程﹕x3 - 6x2 + 5x = 0的解」，构成问题，而在学习了因式分解之后，已熟练地掌握了abc = 0 ; 则a = 0 或 b = 0或c = 0，那么，此时前述求方程的根已对他不构成问题了，而当前状态下对于「求方程x3 - 6x2 - 4x = 6的根」则构成一个问题。
* 问题情境状态下，要对学生本人构成问题，必须满足三个条件: (1)可接受性。指学生能够接受这个问题，还可表现出学生对该问题的兴趣。 (2)障碍性。即学生当时很难看出问题的解法、程序和答案，表现出对问题的反应和处理的习惯模式的失败。(3)探索性。该问题又能促使学生深入地研究和进一步的思考，展开各种探究活动，寻求新的解题途径，探求新的处理方法。
* 问题解决中的「问题」与「习题」或「练习」是有区别的，其重要区别在于: (1)性质不同。中学数学课本中的「习题」或者「练习」 属于「常规问题」，教师在课堂中已经提供了典范解法，而学生只不过是这种典范解法的翻版应用，一般不需要学生较高的思考。因此，实际上学生只不过是在学习一种算法，或一种技术，一种应用于同一类「问题」的技术，一种只要避免了无意识的错误就能保证成功的技术。(2)服务的目的不同。尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也可能是真正的问题，但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的，而真正的问题则适合于学理学论文